Logarithmus

Auf einen Blick


Mathematische Grundlagen

 

 

Der Logarithmus von x zur Basis a ist derjenige Exponent y, mit dem man a potenzieren muss, um x zu erhalten.

Es gibt verschiedene Schreibweisen für den Logarithmus: alog(b); alog b oder loga 

 

 

Vorraussetzungen:

1) a darf nicht 0 sein

Bsp: log0 10 = y

0y 10, denn 0EINE BELIEBIGE ZAHL =0.

 

2) a darf nicht negativ sein

Bsp: log(-2) 8 = y

(-2)y ≠ 8 

->Logarithmus ist unlösbar, da a nie negativ sein darf.

 

3) a darf nicht 1 sein

Bsp: log18 = y

1 ≠  ≠ ≠  8, da 1eine beliebige (positive) Zahl  immer 1 ist.

 

4) c>0

Bsp: log1(-25) =y

5y ≠  -25, da man beim potenzieren mit einer positiven Zahl auch immer eine positive Zahl erhählt.

 

5) c darf nicht 0 sein

log50=y

a0 ist keine Lösung für die Gleichung, denn a=1

 

 

 

Spezielle Basen

 

1) Basis=10

Logarithmen zur Basis 10 nennt man Zehnerlogarithmen oder dekatische Logarithmen.

besondere Schreibweise: lg

Bsp:

   
  lg (1000) = log 10(1000) = 3 

Anwendung: Bei Zahlen, die mehrere Größenordnungen umspannen.

 

2) Basis=e

Logarithmen zur Basis e werden als natürliche Logarithmen bezeichnet.

e ist eine Konstante. ( e=2.7182818... )

besondere Schreibweise: ln

Bsp:  logec = ln c 

Anwendung: Bei Wachstums- und Zerfallprozessen.

 

3) Basis=2

Logarithmen zur Basis 2 nennt man Zweierlogarithmus oder dykatischer Logarithmus.

besondere Schreibweise: ld

Anwendung: Bei dem Begriff der Information.

 

 

Logarithmieren=Umkehrung des Potenzierens

 

 

->Dieser Sachverhalt lässt sich anhand der Basis 10 am einfachsten verdeutlichen.

 

So ist : 10log 1000   = 3 (y = Die Anzahl, der in der Dezimalzahl vorkommenden Nullen, hier 3.)

->auch als 103  darstellbar

So ist:  10log 0.01 = -

->Zahl 0.01 kann als "Zehnerpotenz"  mit 10-2 dargestellt werden kann

 

Aufgrund dieser Eigenschaft, den Exponenten einer Zehnerpotenz anzugeben, eignet sich der Logarithmus zur Basis 10 gut als Maß für die Angabe großer Zahlen: So liegt er beispielsweise für eine Zahl, deren Dezimaldarstellung (vor dem Komma) 54 Stellen hat (die also enorm groß ist), zwischen 53 und 54. Insofern beruht er auf der Idee, die "Anzahl der Dezimalstellen" als Größenmaß zu verwenden. Er wird oft verwendet, wenn in einem Problem Zahlen auftreten, die mehrere Zehnerpotenzen umfassen. 

 

Quellen:

www.mathe-online.at

http://www.bommi2000.de

http://www.joerg-rudolf.lehrer.belwue.de

http://www.mathematik.net

Mathematik 1 und 2 ; Weltbild Verlag

 

 

 

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